Colles de mathématiques
Équation polynomiale de degré 3
Sujet
On considère l'équation (E): z3 − (3+i)z2 + (3 + 4i)z + (1 − 3i) = 0
- Vérifier que i est une racine de (E).
- Résoudre alors (E).
Corrigé de l'exercice de maths: Nombres complexes - Polynômes
Correction
z = i est bien une solution de (E), et on sait donc que le polynôme se factorise par
(z − i), c'est-à-dire qu'il existe trois coefficients complexes
a, b et c tels que
On trouve ainsi a = 1 et b = −2 et donc δ = 1 − 2i et les deux racines z1 = 1 + i et z2 = 2 − i.
z3 − (3+i)z2 + (3+4i)z + (1−3i)
= (z−i)(az2 + bz + c)
En développant le terme de droite et en identifiant les termes de même degré, on trouve
a = 1,
b = −3 et
a = 3 + i,
et on a donc la factorisation de l'équation
(E): (z−i)(z2 − 3z + (3+i)) = 0
L'expression du 2nd degré a un discriminant Δ = −3 − 4i dont on extrait une racine carrée complexe
δ = (a + ib)2 = −3 − 4i
donc en développant, en identifiant parties réelles et imaginaires, et en ajoutant aussi l'égalité des modules (au carré):
a2 − b2
= −3
2ab
= −4
a2 + b2
= 5
On trouve ainsi a = 1 et b = −2 et donc δ = 1 − 2i et les deux racines z1 = 1 + i et z2 = 2 − i.