Colles de mathématiques
Équation de la tangente à un cercle passant par un point donné
Sujet
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; i, j), déterminer les équations des tangentes au cerle de centre A(−2;1) et de rayon 5 et qui passent par B(5;2).
Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie plane cartésienne
Correction
Soit T(x;y) un point de tangence sur le cercle,
alors on a
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{BT}=(x+2)(x-5)+(y-1)(y-2)=0\\[.5em]
AT^2=(x+2)^2+(y-1)^2=5^2=25
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
x^2+y^2+4x-2y-20=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
7x+y-12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-7x+12)^2-3x-3(-7x+12)-8=50x^2-150x+100=0\\[.5em]
y=-7x+12=0
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/2.png)
x = 1 est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors x = 10050 = 2.
On trouve donc deux possibilités: T1(1;5) et T2(2;2).
Soit M(x;y) un point d'une tangente, alors
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_1}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff3(x-5)+4(y-2)=0\\[.4em]&\iff3x+4y-23=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/8.png)
ou
![\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_2}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff4(x-5)+1(y-2)=0\\[.4em]&\iff 4x+y-22=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex5_c/9.png)
qui sont donc les deux équations des deux tangentes au cercle et passsant par A.
x = 1 est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors x = 10050 = 2.
On trouve donc deux possibilités: T1(1;5) et T2(2;2).
Soit M(x;y) un point d'une tangente, alors
ou