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Colles de mathématiques

Estimation pour la loi géométrique


Sujet


Soit n un entier naturel et X une variable aléatoire suivant la loi géométrique 𝒢(1/n).
  1. Donner l'espérance et la variance de X.
  2. Montrer que P(X≥n2)≤1n
  3. Montrer que P(|X−n|≥n)≤1 − 1n . En déduire que P(X≥2n)≤1 − 1n .

Corrigé de l'exercice de maths: VA: inégalités & estimation

Correction


  1. Une variable aléatoire X qui suit une loi géométrique de paramètre p a pour espérance E(X) = 1p et variance V(X) = qp2, avec q = 1 − p .
  2. X étant à valeurs positives de moyenne n, l'inégalité de Markov donne, pour tout a > 0,
    P(X≥a)≤na
    On obtient le résultat voulu avec a = n2 .
  3. On a V(X) = 1 − 1nn2 = n(n−1) . On obtient en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec ε > 0 ,
    P(|X−n|≥ε)≤n(n−1)ε2 .
    Pour ε = n , on obtient le résultat voulu.
    De plus, X étant à valeurs dans N* , |X−n|≥n et X≥2n sont égaux, ce qui donne la deuxième inégalité.