Colles de mathématiques
Étude de la convergence de la série avec un paramètre
Sujet
Soit, pour n≥1 et a > 0, la suite
un =
an n!nn.
- Étudier la convergence de la série ∑un lorsque a≠e.
- Lorsque a = e, prouver que, pour n assez grand,
un+1un≥1.
Que dire alors de la nature de la série ∑un ?
Corrigé de l'exercice de maths: Séries - Développements limités
Correction
- On cherche à utiliser la règle de d'Alembert et on calcule donc
On obtient donc queconverge vers
et donc, d'après la règle de d'Alembert, si
, la série est divergente. Si
, la série est convergente.
Pourle théorème de d'Alembert ne permet pas de conclure directement.
- On pousse un peu plus loin le développement précédent. On obtient
En particulier, pourassez grand,
, et donc la suite
est croissante.
Elle ne converge donc pas vers zéro, et la sérieest divergente.