Colles de mathématiques
Intégrale avec bornes variables
Sujet
Soit f la fonction définie par
f (x) =
∫
x
2x
1t2 + 3
dt
- Quel est le domaine de définition de f ? f est-elle paire ? impaire ?
- Étudier les variations de f. f admet-elle une limite en l'infini ? si oui, laquelle ?
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
- Pour tout réel
, on a
, et
est donc définie et continue sur
, tout comme
.
Pour tout réel, on a
soit aussi, en posant,
ce qui montre queest impaire.
- On pose
alorsest dérivable sur
avec
.
On a alors aussiet donc
, soit
Le dénominateur est toujours strictement positif, et le numérateur est du second degré, s'annulant en.
On trouve donc queest décroissante sur
et sur
, et croissante sur
.
On sait donc queest décroissante sur
; comme elle y est de plus positive, elle admet nécessairement une limite en
.
On a enfin, pouret comme
est décroissante sur
ce qui montre que.
Par imparité, on a donc aussi.