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Colles de mathématiques

Intégrale impropre avec exponentielles, et changement de variable



Exercice de maths: Intégrales généralisées

Sujet


On pose I = ∫ 0 +∞ e−t − e−2t/tdt.
  1. Montrer que I converge.
  2. Pour ε>0, en utilisant le changement de variable x = 2t, montrer que ∫ ε +∞ e−t − e−2t/tdt = ∫ ε 2ε e−x/xdx.
  3. Démontrer que, pour tout t≥0, 1 − t≤e−t≤1.
  4. Déduire des questions précédentes la valeur de I.
  5. En posant x = e−t, calculer ∫ 0 1 x − 1/ln(x)dx.

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