Colles de mathématiques
Intégrale impropre avec exponentielles, et changement de variable
Sujet
On pose
I =
∫
0
+∞
e−t − e−2ttdt.
- Montrer que I converge.
- Pour ε>0, en utilisant le changement de variable x = 2t, montrer que ∫ ε +∞ e−t − e−2ttdt = ∫ ε 2ε e−xxdx.
- Démontrer que, pour tout t≥0, 1 − t≤e−t≤1.
- Déduire des questions précédentes la valeur de I.
- En posant x = e−t, calculer ∫ 0 1 x − 1ln(x)dx.
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées
Correction
- La fonction
est continue sur
avec,
par croissances comparées, et donc, en,
ce qui montre, d'après le critère de Riemann, que l'intégrale converge en.
Par ailleur, en 0, on aet donc
ce qui montre queest prolongeable par continuité en 0, et en particulier que l'intégrale converge en 0.
Finalement, on a montré que l'intégrale converge.
- On décompose l'intégrale, grâce à la relation de Chasles,
et on applique le changement de variable proposé:donc
(qui est un changement de variable de class
et strictement croissant)
puis, avec à nouveau la relation de Chasles,
- Pour
, on a directement que
par décroissance de la fonction
.
Par ailleurs, en étudiant la fonction, on a
et donc
ce qui montre que pour tout,
.
- D'après les questions précédentes, on a
avec, d'une part
et d'autre part,
L'encadrement précédent se réécrit donc,
puis, par le théorème des gendarmes, à la limite, on obtient
.
- En posant
, donc
, on a