Colles de mathématiques
Intégrale impropre avec exponentielles, et changement de variable
Sujet
On pose
I =
∫
0
+∞
e−t − e−2ttdt.
- Montrer que I converge.
- Pour ε>0, en utilisant le changement de variable x = 2t, montrer que ∫ ε +∞ e−t − e−2ttdt = ∫ ε 2ε e−xxdx.
- Démontrer que, pour tout t≥0, 1 − t≤e−t≤1.
- Déduire des questions précédentes la valeur de I.
- En posant x = e−t, calculer ∫ 0 1 x − 1ln(x)dx.
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées
Correction
- La fonction est continue sur avec,
par croissances comparées, et donc, en ,
ce qui montre, d'après le critère de Riemann, que l'intégrale converge en .
Par ailleur, en 0, on a et donc
ce qui montre que est prolongeable par continuité en 0, et en particulier que l'intégrale converge en 0.
Finalement, on a montré que l'intégrale converge.
- On décompose l'intégrale, grâce à la relation de Chasles,
et on applique le changement de variable proposé: donc (qui est un changement de variable de class et strictement croissant)
puis, avec à nouveau la relation de Chasles,
- Pour , on a directement que par
décroissance de la fonction .
Par ailleurs, en étudiant la fonction , on a et donc
ce qui montre que pour tout , .
- D'après les questions précédentes, on a
avec, d'une part
et d'autre part,
L'encadrement précédent se réécrit donc,
puis, par le théorème des gendarmes, à la limite , on obtient .
- En posant , donc , on a