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Colles de mathématiques

Lien suite et série



Exercice de maths: Séries

Sujet


On considère une suite $(u_n)$ donnée par $u_1\geq0$ et $u_{n+1}=\dfrac{3n-1}{3n} u_n$ pour $n\geq 1$.
  1. Démontrer que $(u_n)$ converge.
  2. On pose, pour $n\geq 0$, $v_n=\ln\left( n^{1/3}u_n\rp$.
    Démontrer que $v_{n+1}-v_n=-\dfrac2{9n^2}+o\lp\dfrac 1{n^2}\rp$.
  3. En déduire que la série de terme général $w_n=v_{n+1}-v_n$ converge.
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ converge. On notera $\lambda$ sa limite.
  5. Donner un équivalent simple de $(u_n)$. La série de terme général $u_n$ est-elle convergente ?

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