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Colles de mathématiques

Matrice d'une application linéaire. Bijective ?


Sujet


Soit f : R3R3, définie par
f (x, y, z) = ( x + 2y, 2x − y + z, x − y − z)
  1. Monter que f est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de R3.
  2. f est-elle bijective ?

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Déterminants

Correction


  1. f est clairement linéaire (à savoir démontrer quand même…) et sa matrice dans la base canonique de R3 est: 1 2 0 2 −1 1 1 −1 −1
    (les colonnes sont les images de la base canonique, soit f (1, 0, 0), f (0, 1, 0) et f (0, 0, 1)).
  2. On calcule le déterminant de la matrice de f, en développant, par exemple, suivant la 1ère ligne, et on trouve det(f ) = 8≠0, et donc f est bijective.
    On peut aussi, par exemple, déterminer le noyau de f, c'est-à-dire résoudre le système f (x, y, z) = (0, 0, 0) et trouver que ce noyau est réduit au vecteur nul, et donc que cette application est injective, donc bijective.