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Colles de mathématiques

Nature de l'intégrale impropre …


Sujet


Étudier la nature de l'intégrale ∫ 0 +∞ e−x2 dx

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées

Correction


$x\mapsto e^{-x^2}$ est continue sur $[0;+\infty[$. Il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en $+\infty$. On compare pour cela à une intégrale Riemann: en $+\infty$, en posant $X=x^2$ et par croissances comparées, on a $\dfrac{e^{-x^2}}{\frac1{x^2}}=x^2e^{-x^2}=\dfrac{X}{e^X}\to0$, ce qui signifie que, en $+\infty$, $e^{-x^2}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$.
Or, $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ est intégrable en $+\infty$, et donc l'intégrale est convergente.