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Colles de mathématiques

Nature de l'intégrale impropre …


Sujet


Étudier la nature de l'intégrale ∫ 1 +∞ 1/(1 − x)x dx

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées

Correction


$x\mapsto\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}$ est continue sur $]1;+\infty[$. Il suffit donc d'étudier la convergence aux bornes $1$ et $+\infty$.
En $+\infty$, on a $\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}\sim -\dfrac1{x\sqrt{x}}=-\dfrac1{x^{3/2}}$ qui est le terme d'une intégrale de Riemann convergente.
Donc l'intégrale est convergente en $+\infty$.

En $1$, en posant $u=1-x\to0$, on a $\dfrac1{(1-x)\sqrt{x}}=\dfrac1{u\sqrt{1-u}}\sim\dfrac1u$ qui est le terme d'une intégrale de Riemann divergente.

Ainsi, l'intégrale est divergente.