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Colles de mathématiques

Projection du plan sur un cercle


Sujet


Soit $A$ le point d'affixe 1 du plan complexe. On considère la transformation $p$ de plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et distinct de $A$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$.
  1. Déterminer les antécédents de $A$ par la transformation $p$.
  2. Calculer le module de $z'$.
  3. Démontrer que les points $A$, $M$ et $M'$ sont alignés.
  4. En déduire une construction de $M'$.

Corrigé de l'exercice de maths: Nombres complexes

Correction


Soit $A$ le point d'affixe 1 du plan complexe. On considère la transformation $p$ de plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ et distinct de $A$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}$.
  1. $M(z)$ est un antécédent de $A(1)$ si $1=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1} \iff \overline{z}+z=2 \iff \Re e(z)=1$.
    Il s'agit de la droite d'équation $x=1$.
  2. $|z'|=\dfrac{|1-z|}{|\overline{z}-1|} =\dfrac{|\overline{1-z}|}{|-(\overline{z}-1)|}=1$.
  3. $A$, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si
    \[\begin{array}{ll} z-1=k(z'-1)$, $k\in\R$, soit $z-1=k\left( \dfrac{1-z}{\overline{z}-1}-1\right) =k\left( \dfrac{2-2\Re e(z)}{\overline{z}-1}\rp\\ \iff |z-1|^2=2k\lp1-\Re e(z)\right) \enar\]

    soit pour $\Re e(z)\not=1$ (les antécédents de $A$), $k=\dfrac{|z-1|^2}{2\lp1-\Re e(z)\right)}\in\R$, et donc les points sont bien alignés.
    Si $M(z)$ avec $\Re e(z)=1$, alors $M'=A$ et les points sont aussi alignés.
  4. Étant donné $M$, $M'\in(AM)\cap\mathcal{C}$ où $\mathcal{C}$ est le cercle unité.