Colles de mathématiques
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Sujet
Déterminer les fonction f : RR, continues et telles que, ∀x∈R,
∫
0
1
f (xt) dt = 0 .
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
On est assez fortement incité à faire le changement de variable u = xt, pour x ≠0:
Plus rigoureusement, on reconnaît la primitive F de f qui s'annule en 0:
Enfin, comme f est continue sur R on a nécessairement aussi f (0) = 0 et donc finalement f est identiquement nulle sur R.
∫
0
1
f (xt) dt
=
1x
∫
0
x
f (u) du
ce qui signifie que la valeur moyenne de f sur [0, x], pour tout x≠0 est nulle, et qui laisse bien penser que f est identiquement nulle.
Plus rigoureusement, on reconnaît la primitive F de f qui s'annule en 0:
∫
0
x
f (u) du
=
F(x) = 0
Ainsi, cette primitive est la fonction nulle, et donc aussi F'(x) = f (x) = 0 pour x≠0.
Enfin, comme f est continue sur R on a nécessairement aussi f (0) = 0 et donc finalement f est identiquement nulle sur R.