Colles de mathématiques
Représentation paramétrique de droites et droite perpendiculaire à deux autres
Sujet
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, i, j;, k), on considère les droites
D1
x + z = 2
y = −1
et
D2
y − z + 1 = 0
x + y = 0
- Donner un système d'équations paramétriques des droites D1 et D2.
- Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite D perpendiculaire commune à D1 et D2.
Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace
Correction
- On prend par exemple
comme paramètre, et alors pour
,
et de même pour,
- Un vecteur directeur
de
vérifie
où
et
sont des vecteurs directeurs de
et
.
À l'aide des représentations paramétriques précédentes, on aet
et donc
.
Il suffit maintenant de trouver un pointde
et la représentation paramétrique de
:
Comme,
et
sont sécantes en
: il existe des réels
et
tels que
et de mêmeet
sont sécantes en
: il existe des réels
et
tels que
On a doncsoit
et
.
Comme, on a aussi
donc
et
donc
.
Il nous reste maintenant 2 équations à exploiter:
soit
Le déterminant de ce système est non nul, et donc pour touton trouve une unique solution pour
et
.
Ainsi, tout point, pour tout réel
convient, par exemple
et alors
est une représentation paramétrique de.