Colles de mathématiques
Séries harmonique et avec coefficients binomiaux
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022
Soit un entier naturel fixé. Pour tout entier naturel , on pose
Soit un entier naturel fixé. Pour tout entier naturel , on pose
-
- Question de cours: rappeler les résultats de cours sur la convergence des séries de Riemann.
- Pour tout , on pose .
Montrer que
et
- Étudier la nature de la série de terme général .
- On suppose dans toute la suite que est supérieur ou égal à 2 et on pose
.
- Montrer que, pour tout entier ,
- En vous servant d'une somme télescopique, en déduire une formule pour en fonction de , et .
- Montrer que, pour tout entier ,
- Déterminer, dans les cas de convergence, la somme de la série de terme général en fonction de .
Corrigé de l'exercice de maths: Séries - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation
-
- Critère de convergence de Riemann: la série de terme général converge si et seulement si
- On utilise une comparaison série/intégrale avec la fonction inverse qui est strictement décroissante sur , et donc, pour tout entier , et pour tout on a
d'où, en intégrant terme à terme
soit aussi en calculant ces intégrales
On somme ensuite terme à terme ces inégalités, de jusqu'à , pour faire apparaître la somme
et, la somme centrale étant télescopique, on trouve finalement
ou encore, en retournant ces inégalités
D'après le théorème des gendarmes on en déduit la limite recherchée:
et, en divisant ces inégalités par , on obtient
d'où la deuxième limite recherchée
ce qui signifie au passage exactement que, en ,
- On a
et donc ( est un paramètre fixe),
et ainsi, si la série de terme général diverge, tandis qu'elle converge pour par comparaison avec une série de Riemann.
-
-
- On a donc, en prenant le rang dans la relation précédente
ou encore
Pour que ce soit le terme général d'une suite télescopique, on écrit alors plutôt en retranchant de part et d'autre
On a alors,
soit
ou encore
or et donc
ou encore finalement
-
-
On a vu que, pour , la série converge avec
et donc,
qui tend vers 0 pour .
La somme de terme général tend donc vers .