Colles de mathématiques
Simplification d'une fonction avec arctans
Sujet
Étudier la fonction
f définie sur
R*
par
f (x) = arctan x + arctan 1x .
Corrigé de l'exercice de math
Correction
On a
et, avec
,
,
,
et donc
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/5.png)
Ainsi
est constante, et,
comme
,
on a, pour tout
,
![\[f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/9.png)
![$arctan'x=\dfrac{1}{1+x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/1.png)
![$u=\dfrac1x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/2.png)
![$u'=-\dfrac{1}{x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/3.png)
![$\lp\arctan u\rp'=u'\dfrac{1}{1+u^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/4.png)
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2}\tm\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\\
&=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/5.png)
Ainsi
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/6.png)
![$f(1)=2\arctan(1)=\dfrac\pi2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/7.png)
![$x\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/8.png)
![\[f(x)=\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctans_c/9.png)