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Colles de mathématiques

Suite implicite définie par une intégrale impropre



Exercice de maths: Intégrales généralisées - Suites

Sujet


Soit H définie par:
H(x) = ∫ x +∞ e−t2/2(1 + t)dt
et (xn) la suite définie par x0 = 1 et xn+1 = H(xn).
  1. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles H(x) est convergente.
  2. Étudier les variations de H sur ]0; +∞[. Préciser la limite en +∞.
  3. Prouver que xn∈R+* pour tour entier n.
  4. Montrer qu'il existe un unique α > 0 tel que H(α) = α.
  5. Montrer que, pour tout entier n, |xn+1 − α|≤|xn − α|.
  6. En déduire que (xn) converge.

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