Colles de mathématiques
Suite implicite définie par une intégrale impropre
Sujet
Soit H définie par:
H(x) =
∫
x
+∞
e−t22(1 + t)dt
et (xn) la suite définie par
x0 = 1 et
xn+1 = H(xn).
- Déterminer les valeurs de x pour lesquelles H(x) est convergente.
- Étudier les variations de H sur ]0; +∞[. Préciser la limite en +∞.
- Prouver que xn∈R+* pour tour entier n.
- Montrer qu'il existe un unique α > 0 tel que H(α) = α.
- Montrer que, pour tout entier n, |xn+1 − α|≤|xn − α|.
- En déduire que (xn) converge.
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées - Suites
Correction
- La fonction
est continue sur
et, par croissances comparées en
,
c'est-à-dire que
et donc par comparaison avec une intégrale de Riemann, l'intégrale est convergente en, et ainsi
est définie pour
.
En, on a
avec
, et ainsi par comparaison avec une intégrale de Riemann (en 0 cette fois),
diverge en
.
En résuméest définie sur
.
- On a
et donc, pour tout
,
Or,et
sur
et donc
et
est décroissante.
Comme l'intégrale est convergente, on a que
Comme ce n'est pas nécessairement complètement évident, pour le montrer on peut par exemple décomposer l'intégrale en écrivant que, pour tous réelset
soit aussi
avec, puisque l'intégrale est convergente,
d'où
- Pour tout réel
positif, on a
et donc, par positivité de l'intégrale,
pour tout
positif.
Ainsi, par récurrence,et lorsque
alors on a donc aussi
. On a donc, pour tout entier
,
.
- On considère la fonction
définie sur
par
et on cherche
tel que
.
On a alors,
comme on l'a vu précédemment, et ainsiest strictement décroissante.
On a de plus que(positivité de l'intégrale, vu précédemment) et, comme
, on a
.
Commeest aussi continue (même dérivable), d'après le théorème de la bijection (car en effet
est une bijection de
sur
), il existe un unique
tel que
.
- Pour tout entier
, on a
et donc
Or, pour tout entier, on a vu que
, et pour
,
On a bien obtenu ainsi que
- On a vu à la question précédente, que plus précisément on a
et donc, par une récurrence immédiate,
ce qui montre queconverge vers
.