Colles de mathématiques
Suite récurrente et série (bis)
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Sujet
On pose . Pour tout , on note
- Montrer que la suite diverge vers .
- On pose .
Montrer que la série de terme général converge. - On pose .
Montrer que la suite converge, on note sa limite. - Montrer que .
- Montrer que .
Corrigé de l'exercice de maths: Séries - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
- On montre par récurrence que la suite est strictement positive.
En effet puis, si alors .
On a donc et cette suite est donc strictement croissante. Elle converge donc vers une limite ou diverge vers .
Mais si elle converge vers , alors par passage à la limite dans la relation de récurrence, on a nécessairement
ce qui est impossible car on a vu que .
Ainsi, la suite diverge vers .
- On a
et donc
Or on a vu que , donc et alors
car on a vu aussi que la suite est croissante donc , donc .
On sait de plus que la série converge, comme une série géométrique de raison , et donc, par comparaison entre séries à termes positifs, converge aussi.
- On a et donc la somme téléscopique
et donc, puisque la série de gauche converge, il en est de même de la suite .
- On a vu que
car , donc , et que la fonction ln est croissante.
On a donc
avec
d'où
On a donc trouvé que
et qui nous donne l'inégalité souhaité puisque , d'où
- On a
car .
Par ailleurs
d'où l'encadrement souhaité avec l'inégalité de la question précédente;