Colles de mathématiques
Suite récurrente et série (bis)
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Sujet
On pose
. Pour tout
, on note
![\[u_{n+1}=u_n+u_n^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/srs2/3.png)
![$u_0=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/srs2/1.png)
![$n\in\N^*$](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/srs2/2.png)
![\[u_{n+1}=u_n+u_n^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/srs2/3.png)
- Montrer que la suite
diverge vers
.
- On pose
.
Montrer que la série de terme généralconverge.
- On pose
.
Montrer que la suiteconverge, on note
sa limite.
- Montrer que
.
- Montrer que
.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
- On montre par récurrence que la suite
est strictement positive.
En effetpuis, si
alors
.
On a doncet cette suite est donc strictement croissante. Elle converge donc vers une limite
ou diverge vers
.
Mais si elle converge vers, alors par passage à la limite dans la relation de récurrence, on a nécessairement
ce qui est impossible car on a vu que.
Ainsi, la suitediverge vers
.
- On a
et donc
Or on a vu que, donc
et alors
car on a vu aussi que la suite est croissante donc, donc
.
On sait de plus que la sérieconverge, comme une série géométrique de raison
, et donc, par comparaison entre séries à termes positifs,
converge aussi.
- On a
et donc la somme téléscopique
et donc, puisque la série de gauche converge, il en est de même de la suite.
- On a vu que
car, donc
, et que la fonction ln est croissante.
On a donc
avec
d'où
On a donc trouvé que
et qui nous donne l'inégalité souhaité puisque, d'où
- On a
car.
Par ailleurs
d'où l'encadrement souhaité avec l'inégalité de la question précédente;