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Colles de mathématiques

Suite récurrente et série (bis)

Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019



Exercice de maths: Séries - Annales ENSAE - Saclay - B/L

Sujet


On pose $u_0=1$. Pour tout $n\in\N^*$, on note
\[u_{n+1}=u_n+u_n^2\]

  1. Montrer que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  2. On pose $v_n=\dfrac{\ln\left( u_{n+1}\right)}{2^{n+1}}-\dfrac{\ln\left( u_n\right)}{2^n}$.
    Montrer que la série de terme général $v_n$ converge.
  3. On pose $w_n=\dfrac{\ln\left( u_n\right)}{2^n}$.
    Montrer que la suite $\left( w_n\rp$ converge, on note $a$ sa limite.
  4. Montrer que $\dsp\sum_{k=n}^{+\infty}v_k\leqslant\dfrac1{2^n}$.
  5. Montrer que $a-\dfrac1{2^n}\leqslant\dfrac{\ln\left( u_n\right)}{2^n}\leqslant a$.

Correction