Colles de mathématiques
Calcul d'un déterminant avec paramètres
Sujet
Montrer que
1 + a
a
a
b
1 + b
b
c
c
1 + c
= 1 + a + b + c
Corrigé de l'exercice de maths: Déterminants
Correction
On soustrait la 2ème colonne à la 1ère,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\-1&1+b&b\\0&c&1+c\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/1.png)
puis on ajoute la 1ère ligne à la 2ème,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\0&1+a+b&a+b\\0&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/2.png)
![\[\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{cc}1&a+b\\-1&1+c\enar\right|
=1+c-(-(a+b))=1+a+b+c\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/3.png)
ou alors, on ajoute les 3 lignes sur la 1ère,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1+a+b+c&1+a+b+c&1+a+b+c\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=(1+a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/4.png)
puis, à la 2ème colonne on soustrait la 1ère, et de même à la 3ème colonne on soustrait la 1ère,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\b&1&0\\c&0&1\enar\right|=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/5.png)
d'où le résultat.
![\[\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\-1&1+b&b\\0&c&1+c\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/1.png)
puis on ajoute la 1ère ligne à la 2ème,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1&a&a\\0&1+a+b&a+b\\0&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/2.png)
![\[\left|\begin{array}{cc}1+a+b&a+b\\c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{cc}1&a+b\\-1&1+c\enar\right|
=1+c-(-(a+b))=1+a+b+c\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/3.png)
ou alors, on ajoute les 3 lignes sur la 1ère,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1+a&a&a\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1+a+b+c&1+a+b+c&1+a+b+c\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=(1+a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/4.png)
puis, à la 2ème colonne on soustrait la 1ère, et de même à la 3ème colonne on soustrait la 1ère,
![\[\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\b&1+b&b\\c&c&1+c\enar\right|
=\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\b&1&0\\c&0&1\enar\right|=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exCalcul-08_c/5.png)
d'où le résultat.