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Colles de mathématiques

Calcul de limite avec radical


Sujet


Déterminer la limite $\dsp\lim_{x\to+\infty}x-\sqrt{x^2-2x}$

Corrigé de l'exercice de maths: Limite - Développements limités

Correction


On a, pour $x>0$,
\[\begin{array}{ll} x-\sqrt{x^2-2x} &=\dfrac{\left( x-\sqrt{x^2-2x}\rp\left( x+\sqrt{x^2-2x}\rp}{x+\sqrt{x^2-2x}}\\[1.4em] &=\dfrac{x^2-\left( x^2-2x\right)}{x+x\sqrt{1-\dfrac{2}{x}}} \\[2.4em] &=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-\dfrac{2}{x}}} \enar\]

et donc
\[\lim_{x\to+\infty}x-\sqrt{x^2-2x}=\dfrac{2}{1+1}=1\]




Bien sûr, en connaissant les développements limités on peut s'en servir: pour $x>0$, et en posant $u=\dfrac1x\to0$,
\[\begin{array}{ll}\sqrt{x^2-2x}&=x\sqrt{1-\dfrac2x}=\dfrac1u\sqrt{1-2u}\\ &=\dfrac1u\lp1-\dfrac12(2u)+o(u)\rp\\ &=\dfrac1u-1+o(1)\\ &=x-1+o(1)\enar\]

et ainsi,
\[x-\sqrt{x^2-2x}=1+o(1)\]

et donc,
\[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-2x}=1\]