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Développement limité, série entière et équivalent

Juste les formules !

Je veux juste voir un formulaire sur les développements usuels en série entière, et développements limités...

Généralités

Le développement en série entière d'une fonction est un polynôme de degré infini qui est égal à la fonction dans certaines conditions (convergence de la série, domaine de définition de la fonction).
Le développement limité d'une fonction est le développement en série entière que l'on a tronqué, à l'ordre n. On pourrait parler logiquement de développements illimités, ou développements infinis, pour les séries entières, en opposition aux développements limités.
Enfin, l'équivalent d'une fonction est constitué en général par le premier terme du développement limité (ou de la série entière donc).

Ces trois notions sont donc très proches, et il convient pour les appréhender et les mémoriser de les voir ensemble.

Ce polynôme de degré n s'appelle le polynôme de Taylor et vient des formules de Taylor. Ces formules donnent une méthode pour calculer les coefficients des développements. Il faut pour cela calculer les dérivées successives de la fonction, et ce n'est pas, en générale, une méthode très efficace pour faire ces calculs. On préfère se reposer sur les développements usuels (séries géométrique et exponentielle) et utiliser d'autres relations pour atteindre n'importe quelle fonction (addition, intégration, dérivation, …)

Série géométrique

On commence par le résultat fondamental: la somme des termes d'une suite géométrique, pour tout réel x≠1,

S_n = 1 + x + x² + … + xⁿ = ⁿ ∑ _k=0 x^k = 1 − xⁿ⁺¹ / 1 − x

Maintenant, si |x|<1, on a lim_n+∞ xⁿ⁺¹ = 0 et alors, on trouve le premier développement en série entière en prenant la limite n+∞ dans l'expression précédente:

1/ 1 − x = ^+∞ ∑ _k=0 x^k = 1 + x + x² + …

et le développement limité, en limitant (justement…) cette série, et lorsque x0:

1/ 1 − x = ⁿ ∑ _k=0 x^k + o(xⁿ) = 1 + x + x² + … + xⁿ + o(xⁿ)

En posant par exemple t = −x, on obtient alors la série entière

1/ 1 − (−t) = ^+∞ ∑ _k=0 (−t)^k = 1 + (−t) + (−t)² + …

soit la série avec l'alternance de signes

1/1 + t = ^+∞ ∑ _k=0 (−t)^k = 1 − t + t² + …

et le développement limité correspondant en tronquant cette série, et à la limite x0:

Logarithme

En intégrant ce dernier développement, on otient celui du logarithme ln(1+x) (le terme constant, ou constante d'intégration est nulle car ln(1+0) = ln(1) = 0:

ln(1 + t) = ^+∞ ∑ _k=0 (−1)^k t^k+1/ k + 1 = t − t²/ 2 + t³/ 3 + …

et donc le développement limité, lorsque x0:

ln(1 + t) = t − t²/ 2 + t³/ 3 + … + tⁿ/ n + o(tⁿ)

Développement de puissances

Soit un réel α et f (x) = (1 + x)^α. On a facilement, en dérivant, que

f '(x) = α(1 + x)^α−1 f ''(x) = α(α − 1)(1 + x)^α−2 …

et donc,

f (0) = 1 f '(0) = α f ''(0) = α(α − 1) …

et alors, en utilisant les formules de Taylor, on obtient que

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2!x² + … + α(α−1)…(α−n+1)/n!xⁿ + o(xⁿ⁺¹)

On a les cas particuliers:

Si α est un nombre entier positif, alors tous les termes du développement sont nuls à partir d'un certain rang et on retrouve le développement exact donné par le binôme de Newton.
Pour α = −1, on retrouve le premier développement en série géométrique.
Pour α = ±1/2, on obtient les développements pour des racines carrées, comme on va le voir juste après.

Fonctions circulaires réciproques: arcsin et arccos

Les développements précédents forunissent ceux des fonctions circulaires réciproques, car, en les dérivant, on a

arcsin'(x) = 1/1 − x² = (1 − x²)^−1/2 arccos'(x) = −1/1 − x² = −(1 − x²)^−1/2

c'est-à-dire la formule précédente (1+x)^α avec α = −1/2 et x² On intègre ensuite facilement le développement obtenu pour revenir à celui de arcsin ou arcsin.

Fonction circulaire réciproque: arctan

De même que pour les fonctions réciproques précédentes, on s'appuie sur la dérivée:

arctan'(x) = 1/1 + x²

et on utilise encore le développement de (1+x)^α avec α = −1 et x². On intègre ensuite facilement le développement obtenu pour revenir à celui de arctan.

Série exponentielle

On se rappelle que la fonction exponentielle est l'unique fonction telle que f ' = f et f (0) = 1 Ainsi, le développement s'écrit

exp(x) = 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …

et en dérivant,

exp'(x) = 0 + a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + …

on ces deux développement doivent donc être les mêmes, soit donc

a₁ = 1 2a₂ = a₁ 3a₃ = a₂ …

et on trouve donc facilement que, a_n = 1/n! et donc la série entière

exp(x) = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + … = ^+∞ ∑ _k=0 x^k/k!

On montre facilement (critère de d'Alembert) que cette série converge pour tout réel x.
Comme d'habitude maintenant, si on s'intéresse au développement limité de l'exponentielle, valable cette fois pour x0, on limite donc cette série illimitée en

exp(x) = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + o(x)ⁿ

Fonctions circulaires: sin et cos

Les fonctions circulaires découlent de l'exponentielle, via la formule d'Euler:

cos(x) = e^ix + e^−ix/2

sin(x) = e^ix − e^−ix/2i

et en utilisant le développement précédent de l'exponentielle.

Fonctions hyperboliques: sh et ch

De même pour les fonctions hyperobliques qui sont définies à partir de l'exponentielle:

ch(x) = e^x + e^−x/2

sh(x) = e^x − e^−x/2