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Développements usuels en série et développements limités

Série géométrique

On rappelle, avant les séries, le résultat fondamental: la somme des termes d'une suite géométrique, pour tout réel x≠1,

S_n = 1 + x + x² + … + xⁿ = ⁿ ∑ _k=0 x^k = 1 − xⁿ⁺¹ / 1 − x

duquel découle, pour |x|<1 la série géométrique

1/1 − x = 1 + x + x² + … = ^+∞∑_k=0x^k

et le développement limité, lorsque x0:

1/1 − x = 1 + x + x² + … + xⁿ + o(xⁿ) = ⁿ∑_k=0x^k + o(xⁿ)

En posant t = −x, on obtient alors la série entière alternée

1/1 + t = 1 − t + t² + … = ^+∞∑_k=0(−t)^k

et le développement limité, lorsque t0:

1/1 + t = 1 − t + t² + … + (−t)ⁿ + o(tⁿ) = ⁿ∑_k=0(−t)^k + o(tⁿ)

Logarithme

En intégrant on otient,

ln(1 + t) = t − t²/2 + t³/3 + … = ^+∞∑_k=0(−1)^kt^k+1/k + 1

et donc le développement limité, lorsque x0:

ln(1 + t) = t − t²/2 + … + tⁿ/n + o(tⁿ) = ⁿ∑_k=0(−1)^kt^k+1/k + 1 + o(tⁿ)

Développement de puissances

Pour réel α quelconque on a

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2!x² + … + α(α−1)…(α−n+1)/n!xⁿ + o(xⁿ⁺¹)

On a les cas particuliers:

Si α est un nombre entier positif, alors tous les termes du développement sont nuls à partir d'un certain rang et on retrouve le développement exact donné par le binôme de Newton.
Pour α = −1, on retrouve le premier développement en série géométrique.
Pour α = ±1/2, on obtient les développements pour des racines carrées

Fonctions circulaires réciproques: arcsin et arccos

Les développements précédents forunissent ceux des fonctions circulaires réciproques, car, en les dérivant, on a

arcsin'(x) = 1/1 − x² = (1 − x²)^−1/2 arccos'(x) = −1/1 − x² = −(1 − x²)^−1/2

c'est-à-dire la formule précédente (1+x)^α avec α = −1/2 et x² On intègre ensuite facilement le développement obtenu pour revenir à celui de arcsin ou arcsin.

Fonction circulaire réciproque: arctan

De même que pour les fonctions réciproques précédentes, on s'appuie sur la dérivée:

arctan'(x) = 1/1 + x²

et on utilise encore le développement de (1+x)^α avec α = −1 et x². On intègre ensuite facilement le développement obtenu pour revenir à celui de arctan.

Série exponentielle

La série exponentielle, fondamentale, convergente pour tout réel x est

exp(x) = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + … = ^+∞ ∑ _k=0 x^k/k!

et donc le développement limité de l'exponentielle, pour x0,

exp(x) = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ)

Fonctions circulaires: sin et cos

Les fonctions circulaires découlent de l'exponentielle, via la formule d'Euler: cos(x) = e^ix + e^−ix/2 donc

cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! + … = ^+∞ ∑ _k=0 (−1)^kx^2k/(2k)!

et de même pour le sinus, comme cette fois sin(x) = e^ix − e^−ix/2i on a

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! + … = ^+∞ ∑ _k=0 (−1)^kx^2k+1/(2k+1)!

Fonctions hyperboliques: sh et ch

Les fonctions hyperobliques sont définies à partir de l'exponentielle, pour le cosinus hyperbolique ch(x) = e^x + e^−x/2 donc

ch(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + … = ^+∞ ∑ _k=0 x^2k/(2k)!

et de même pour le sinus hyperbolique sh(x) = e^x − e^−x/2 donc

sh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + … = ^+∞ ∑ _k=0 x^2k+1/(2k+1)!