Colles de mathématiques
Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Sujet
Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction logarithme pour démontrer que:
limx0
ln(1 + x)x
= 1
Corrigé de l'exercice de maths: Limite - Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
Soit
continue et dérivable sur
.
D'après le théorème des acrroissements finis sur
,
il existe
tel que
![\[f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/5.png)
soit
![\[\ln(1+x)=x\dfrac{1}{1+c}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/6.png)
ou encore
![\[\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{1}{1+c}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/7.png)
et donc, finalement,
![\[\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=\left|\dfrac{1}{1+c}-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/8.png)
Or,
, et donc,
d'où la limute recherchée:
![\[\lim_{x\to0}\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/11.png)
c'est-à-dire
![\[\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/12.png)

![$[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/2.png)
![$[0;x]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/3.png)
![$c\in]0;x[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/4.png)
![\[f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/5.png)
soit
![\[\ln(1+x)=x\dfrac{1}{1+c}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/6.png)
ou encore
![\[\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{1}{1+c}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/7.png)
et donc, finalement,
![\[\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=\left|\dfrac{1}{1+c}-1\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/8.png)
Or,
![$c\in]0;x[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/9.png)

![\[\lim_{x\to0}\left|\dfrac{\ln(1+x)}{x}-1\right|=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/11.png)
c'est-à-dire
![\[\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF3_c/12.png)