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Colles de mathématiques

Calculer l'intégrale trigonométrique avec changement de variable

Sujet

Calculer $\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt$ à l'aide du changement de variables $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment

Correction

Soit donc $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$ alors d'une part, $dx=\dfrac12\lp1+\tan^2\lp\dfrac{t}2\rp\rp\,dt=\dfrac12\lp1+x^2\rp\,dt$
et, d'autre part il faut exprimer $\sin t$ en fonction de

. Il faut clairement faire appel à l'angle moitié:

$\sin t=2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}=2\tan\dfrac{t}{2}\cos^2\dfrac{t}{2}=2x\cos^2\dfrac{t}{2}$

Enfin, pour exprimer ce $\cos^2$ , on a aussi $1+\tan^2=\dfrac1{\cos^2}$ , soit ici

$\sin t=2x\dfrac1{1+\tan^2\dfrac{t}{2}}=\dfrac{2x}{1+x^2}$

On a alors, en n'oubliant pas les bornes de l'intégrale,

$I=\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt=\int_1^{+\infty}\dfrac{2dx}{(1+x^2(2+\dfrac{2x}{1+x^2})}=\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+x+1}$

Il reste maintenant à calculer l'intégrale de cette fonction rationnelle: forme canonique et arctangente:

$I=\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+\frac12\rp^2+\frac34}=\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\dfrac34[(\frac{2}{\sqrt3}(x+\frac12))^2+1]}$

puis, en posant $u=\dfrac{2}{\sqrt3}(x+\frac12)$ donc $du=\dfrac2{\sqrt3}dx$ ,

$I=\dfrac43\int_{\sqrt3}^{+\infty}\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1}=\dfrac2{\sqrt3}[\arctan u]_{\sqrt3}^{+\infty}=\dfrac2{\sqrt3}[\dfrac\pi2-\dfrac\pi3]=\dfrac\pi{3\sqrt3}$