Colles de mathématiques
Continuité et dérivabilité d'une composée
Sujet
Soit f la fonction de R dans R
définie par
f (x) = e−1/x2
si x≠0 et
f (0) = 0.
- Montrer que pour tout k∈N, f (k)(0) = 0.
- Soit g la fonction de R dans R définie par
g(x) = f (x) si x>0 et
g(x) = 0 si x≤0.
Montrer que g est de classe C∞ sur R. - Soit a et b deux réels tels que
a<b
et soit h la fonction de R dans R définie par:
h(x) = f (x−a) si x<a 0 si x∈[a;b] f (x−b) si x>b
Montrer que h est de classe C∞ sur R.
Représenter graphiquement h pour a = 1 et b = 2.
Corrigé de l'exercice de math
Correction
- Soit
alors
, et
, et alors
.
Par croissance comparée, on a bien, et donc, en prolongeant par continuité,
.
Pour démontrer le résultat général, on peut démontrer par récurrence que, pour tout entier, il existe un polynôme
tel que
.
Initialement, au rang,
, et (inutile en fait ici, mais le calcul est déjà fait…) d'après le calcul précédent, au rang
,
.
Supposons maintenant que pour un entieron ait
, alors, au rang suivant
,
avec le polynôme.
On vient ainsi de démontrer par récurrence que, pour tout entier, il existe un polynôme
tel que
.
On conclut alors, avec le théorème de croissances comparées:, et donc, en prolongeant par continuité,
.
-
est de classe
sur
et sur
comme composée de fonctions
.
On a, pour tout entier,
pour tout
, et
.
, et toutes ses dérivées succesives, est donc dérivable à gauche et à droite en
, et de dérivée continue.
Ainsi,est de classe
pour tout entier
, c'est-à-dire
est de classe
.
- Soit
, alors sur
, on a
et sur
, on a
qui sont
est bien
Commeest identiquement nulle sur
, le raccord entre les deux fonctions précédentes est aussi
, et donc,
est bien
sur
.