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Colles de mathématiques

Continuité et dérivabilité d'une composée


Sujet


Soit f la fonction de R dans R définie par f (x) = e−1/x2 si x≠0 et f (0) = 0.
  1. Montrer que pour tout k∈N, f (k)(0) = 0.
  2. Soit g la fonction de R dans R définie par g(x) = f (x) si x>0 et g(x) = 0 si x≤0.
    Montrer que g est de classe C∞ sur R.
  3. Soit a et b deux réels tels que a<b et soit h la fonction de R dans R définie par:
    h(x) = f (x−a) si x<a 0 si x∈[a;b] f (x−b) si x>b

    Montrer que h est de classe C∞ sur R.
    Représenter graphiquement h pour a = 1 et b = 2.

Corrigé de l'exercice de math

Correction


  1. Soit $z=1/x$ alors $z'=-1/x^2=-z^2$, et $f=e^{-z^2}=e^u$, et alors $f'=u'e^u=-2z'ze^{-z^2}=-2z^3e^{z^2}$.
    Par croissance comparée, on a bien $\dsp\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{|z|\to+\infty}P(z)e^{-z^2}=0$, et donc, en prolongeant par continuité, $f'(0)=0$.

    Pour démontrer le résultat général, on peut démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n(z)e^{-z^2}$.
    Initialement, au rang $n=0$, $P_0(z)=1$, et (inutile en fait ici, mais le calcul est déjà fait…) d'après le calcul précédent, au rang $n=1$, $P_1(z)=-2z^3$.

    Supposons maintenant que pour un entier $k$ on ait $f^{(k)}(x)=P_k(z)e^{-z^2}$, alors, au rang suivant $f^{(k+1)}(x)=\left( z'P_k(z)+P_k(z)\right) e^{-z^2}-2z'zP_k(z)e^{-z^2} =P_{k+1}(z)e^{-z^2}$,
    avec le polynôme $P_{k+1}(z)=z'P_k(z)+P_k(z)-2z'zP_k(z) =\left( -z^2+1-2z^3\right) P_k(z)$.

    On vient ainsi de démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n(z)e^{-z^2}$.

    On conclut alors, avec le théorème de croissances comparées: $\dsp\lim_{x\to0}f^{(n)}(x)=\lim_{|z|\to+\infty}P(z)e^{-z^2}=0$, et donc, en prolongeant par continuité, $f^{(n)}(0)=0$.
  2. $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\R_-^*$ et sur $\R_+^*$ comme composée de fonctions $C^\infty$.

    On a, pour tout entier $n$, $g^{(n)}(x)=0$ pour tout $x<0$, et $\dsp\lim_{x\to0, x<0}g^{(n)}(x)=0=\lim_{x\to0, x>0}g^{(n)}(x)$.
    $g$, et toutes ses dérivées succesives, est donc dérivable à gauche et à droite en $0$, et de dérivée continue.
    Ainsi, $g$ est de classe $C^n$ pour tout entier $n$, c'est-à-dire $g$ est de classe $C^\infty$.
  3. Soit $m=\dfrac{a+b}{2}$, alors sur $[m;+\infty[$, on a $h(x)=g(x-b)$ et sur $]-\infty;m]$, on a $h(x)=g(-(x-a))$ qui sont $C^\infty$ est bien $C^\infty$
    Comme $h$ est identiquement nulle sur $[a;b]$, le raccord entre les deux fonctions précédentes est aussi $C^\infty$, et donc, $h$ est bien $C^\infty$ sur $\R$.
    \[\psset{xunit=1cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2,-.2)(5,1) \psline{->}(-2,0)(5,0) \psline{->}(0,-.2)(0,1) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=blue,plotpoints=1000]{-2}{.99}{2.718 -1 x 1 sub 2 exp div exp} \psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue](1,0)(2,0) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=blue,plotpoints=1000]{2.01}{5}{2.718 -1 x 2 sub 2 exp div exp} \psline(1,-.02)(1,.02)\rput(.9,-.1){$a\!=\!1$} \psline(2,-.02)(2,.02)\rput(2.1,-.1){$b\!=\!2$} \end{pspicture}\]