Colles de mathématiques
Continuité et dérivabilité d'une composée
Exercice de math
Sujet
Soit f la fonction de R dans R
définie par
f (x) = e−1/x2
si x≠0 et
f (0) = 0.
- Montrer que pour tout k∈N, f (k)(0) = 0.
- Soit g la fonction de R dans R définie par
g(x) = f (x) si x>0 et
g(x) = 0 si x≤0.
Montrer que g est de classe C∞ sur R. - Soit a et b deux réels tels que
a<b
et soit h la fonction de R dans R définie par:
h(x) = f (x−a) si x<a 0 si x∈[a;b] f (x−b) si x>b
Montrer que h est de classe C∞ sur R.
Représenter graphiquement h pour a = 1 et b = 2.