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Colles de mathématiques

Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique


Sujet


Soit f la fonction 2π-périodique définie par f (x) = x2 − π2 sur [−π, π[.
  1. Donner la série de Fourier de f.
  2. Étudier sa convergence
  3. Calculer ∞ ∑ n=1 1/n2

Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier

Correction


La fonction f est 2π-périodique, définie par f (x) = x2 − π2 sur [−π, π[.
  1. La fonction est 2π-périodique donc de pulsation ω = 2π/T = 1. De plus, f est paire, donc bn = 0, et
    • sa valeur moyenne est
      Calculs du coefficient a_0


    • Pour tout entier n>0, en intégrant par parties,
      \[\begin{array}{ll}a_n&=\dfrac4{2\pi}\dsp\int_0^\pi \left( x^2-\pi^2\rp\cos(nx)\,dx\\[.8em] &=\dfrac2\pi\underbrace{\Bigl[\left( x^2-\pi^2\rp\dfrac{\sin(nx)}n\Bigr]_0^\pi}_{=0} -\dfrac2\pi\dsp\int_0^\pi 2x\dfrac{\sin(nx)}n\,dx\\[.8em] &=-\dfrac4{n\pi}\dsp\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx \enar\]

      puis, en intégrant une deuxième fois par parties,
      \[\begin{array}{ll}a_n&=\dsp-\dfrac4{n\pi}\Bigl[x\dfrac{-\cos(nx)}{n}\Bigr]_0^\pi +\dfrac4{n\pi}\int_0^\pi\dfrac{-\cos(nx)}{n}\,dx\\[.8em] &=\dfrac{4\pi\cos(n\pi)}{n^2\pi} -\dfrac4{n^2\pi}\underbrace{\Bigl[\dfrac{\sin(nx)}n\Bigr]_0^\pi}_{=0}\\[.8em] &=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\enar\]

      en utilisant cos(nπ) = (−1)n et sin(nπ) = sin(0) = 0.
      La fonction f étant continue sur R, on en déduit que pour tout réel x,
      \[f(x)=-\dfrac23\pi^2+4\sum_{n\geqslant1}\dfrac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\]

  2. On a $\left|\dfrac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\right|<\dfrac1{n^2}$, ce qui montre que la série converge absolument en tout point.
  3. En $x=\pi$, on a alors, comme $(-1)^n\cos(n\pi)=(-1)^n\tm(-1)^n=\lp(-1)^n\rp^2=1$,
    \[f(\pi)=0=-\dfrac23\pi^2+4\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{n^2}\]

    et donc,
    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac14\tm\dfrac23\pi^2=\dfrac{\pi^2}{6}\]