Colles de mathématiques
Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique
Sujet
Soit f la fonction 2π-périodique définie par f (x) = x2 − π2 sur [−π, π[.
- Donner la série de Fourier de f.
- Étudier sa convergence
- Calculer ∞ ∑ n=1 1n2
Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier
Correction
La fonction f est 2π-périodique, définie par f (x) = x2 − π2 sur [−π, π[.
- La fonction est 2π-périodique donc de pulsation ω = 2πT = 1.
De plus, f est paire, donc bn = 0, et
- sa valeur moyenne est
- Pour tout entier n>0, en intégrant par parties,
puis, en intégrant une deuxième fois par parties,
en utilisant cos(nπ) = (−1)n et sin(nπ) = sin(0) = 0.
La fonction f étant continue sur R, on en déduit que pour tout réel x,
- sa valeur moyenne est
- On a , ce qui montre que la série converge absolument en tout point.
- En , on a alors, comme ,
et donc,