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Colles de mathématiques

Décomposition harmonique d'une impulsion périodique

Sujet

Soit deux réels a et b, avec 0< a < π et 0< b < π−a et f la fonction π-périodique, telle que, pour tout x∈[0, π[,

f (x) = 1 si a < x < a + b 0 sinon

Déterminer la série de Fourier de f.

Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier

Correction

La fonction est π-périodique, donc de pulsation ω = 2π/T = 2, et telle que
sa valeur moyenne est

$a_0=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)dt=\dfrac{b}\pi$
Pour tout entier n≥1,

et de même,

Finalement, en tout point x où f est continue

$f(x)=\dfrac{b}{\pi}+\sum_{n\geqslant1}\Bigl( a_n\cos(2nx)+b_n\sin(2nx)\Bigr)$