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Colles de mathématiques

Déterminer les polynômes tels que … (bis)


Sujet


Déterminer les polyômes $P$ de $\R[X]$ tels que $P'^2=4P$.

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes

Correction


Soit $P$ une solution, alors $2(\deg(P)-1)=\deg(P)$, et donc $\deg(P)=2$, soit $P(X)=aX^2+bX+c$.
Alors
\[\begin{array}{rll} P'^2&=&(2aX+b)^2=4a^2X^2+4abX+b^2\\ 4P&=&4aX^2+4bX+4c. \enar\]

On a alors $a^2=a$, donc $a=1$ ou $a=0$ puis $c=b^2/4$. Les polynômes solutions sont donc le polynôme nul et les polynômes $P(X)=X^2+bX+b^2/4$, avec $b\in\mathbb R$.