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Colles de mathématiques

Polynôme définissant par une relation avec sa dérivée



Exercice de maths: Polynômes

Sujet


Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non nul qui vérifie $nP(X)=(X-2)P'(X)$.
  1. Déterminer le degré de $P$. En déduire que $P^{(n)}(X)=an!$, avec $a\in\R^*$.
  2. Montrer, par récurrence sur $k$, que, pour tout entier $k$,
    \[P^{(k)}(X)=\dfrac1n\Bigl((X-2)P^{(k+1)}(X)+kP^{(k)}(X)\Bigr)\]

  3. Montrer que $P^{(k)}(2)=0$ pour $0\leq k\leq n-1$.
  4. En déduire $P(X)$ en fonction de $n$ et $a$.

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