Colles de mathématiques
Développement en série entière d'une fonction
Sujet
Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction
x ↦ ln(1+2x2).
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières
Correction
Il suffit d'écrire le développement en série entière de
t ↦ ln(1+t),
et de remplacer t par
2x2.
On a donc
![\[\ln(1+2x^2)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^n x^{2n}}{n}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE1_c/4.png)
La série converge si
. Son rayon de convergence est donc 
.
On a donc
La série converge si
. Son rayon de convergence est donc .