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Colles de mathématiques

Développement en série entière d'une fonction


Sujet


Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction x ↦ 1/a − x , avec a≠0.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières

Correction


On se ramène au développement en série entière de 1/1 − u , , en factorisant par a au dénominateur:
\[\dfrac{1}{a-x}=\dfrac{1}{a}\tm\dfrac{1}{1-\frac{x}{a}}\]

Pour $|x/a|<1\iff |x|<|a|$, on obtient
\[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{a-x}&\dsp=\dfrac{1}a\tm\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^n}\\[.8em] &\dsp=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{a^{n+1}}\enar\]

Le rayon de convergence de la série obtenue est $|a|$.