🔍

Colles de mathématiques

Développement en série entière d'une fonction


Sujet


Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction x ↦ ln(a + x), avec a>0.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières

Correction


On factorise par a:
\[\ln(x+a)=\ln\Bigl(a\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\Bigr)=\ln(a)+\ln\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\]

Pour $|x/a|<1$, soit $|x|<a$, on en déduit
\[\ln(x+a)=\ln(a)+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{na^n}\]

Le rayon de convergence de la série entière obtenue est $a$.