Colles de mathématiques
Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Sujet
La matrice
A =
ab
bc
∈ℳ2(R)
est-elle diagonalisable ?
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
Il s'agit d'un résultat (très) connu: toute matrice symétrique réelle
est diagonalisable (d'ailleurs dans une base orthonormale de vecteurs
propres).
L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans ℳ2(R).
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)=\det(A-XI)&=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&c-X\enar\right|\\[1.6em]
&=(a-X)(c-X)-b^2\\[.6em]
&=X^2-(a+c)X+ac-b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/2.png)
de discriminant
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/3.png)
Si
, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si
,
on a
,
et
admet alors deux valeurs propres distinctes,
et
est diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule
, soit
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/10.png)
et, pour
(si
, la matrice est déjà diagonale)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)
\\b&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/14.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
.
Le discriminant de ce trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/16.png)
Si
, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si
,
on a
,
et
admet alors deux valeurs propres distinctes,
et
est diagonalisable.
L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans ℳ2(R).
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)=\det(A-XI)&=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&c-X\enar\right|\\[1.6em]
&=(a-X)(c-X)-b^2\\[.6em]
&=X^2-(a+c)X+ac-b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/2.png)
de discriminant
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/3.png)
Si





Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule

![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/10.png)
et, pour



![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)
\\b&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/14.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque

Le discriminant de ce trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle_c/16.png)
Si




