Colles de mathématiques
Droites coplanaires, sécantes, …
Sujet
Soit a un réel. On considère les droites
D1
x + y = 2
y − 2z = 3
et
D2
x + y + z = 1
x − 2y + 3z = a
- D1 et D2 sont-elles parallèles ?
- Déterminer a pour qu'elles soient coplanaires.
Donner alors les coordonnées du point d'intersection de D1 et D2 et une équation du plan contenant D1 et D2.
Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace
Correction
Les droites D1 et D2 sont définies par leur représentation paramétrique
D1
x + y = 2
y − 2z = 3
et
D2
x + y + z = 1
x − 2y + 3z = a
avec un paramètre a.
-
et
sont deux vecteurs orthogonaux de
dont un vecteur directeur est donc
.
De même pourdirigée par
.
Commeet
ne sont pas colinéaires,
et
ne sont pas parallèles.
- Ces droites sont donc coplanaires si et seulement si elles
sont sécantes. Soit
l'éventuel point d'intersection, alors
.
En soutrayant la 1ère équation à la 3ème, on obtient, et alors la 2ème fournit
, puis la 1ère
. Enfin, la dernière donne alors que les droites sont sécantes en
si et seulement si
.
Un vecteur normal au plan contenantet
est donné par
, donc
, et comme
, on obtient
d'où