Colles de mathématiques
Équation d'un plan médiateur
Sujet
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, i, j;, k),
on considère les points A(0; 1; 2) et B(2; −1; 0).
Déterminer une équation du plan médiateur du segment [AB].
Corrigé de l'exercice de maths: Géométrie dans l'espace
Correction
Le plan médiateur du segment [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B.
Ainsi, le point A(x; y; z) est un point du plan médiateur si et seulement si AM = BM.
On a
Autre méthode: On peut aussi écrire, à l'instar de la médiatrice d'un segment dans le plan, que le plan médiateur est le plan orthogonal à la droite (AB) et qui coupe le segment [AB] en son milieu I.
De cette fa&ccedl;on, le plan médiateur est l'ensemble des points M tels que le produit scalire
Ainsi, le point A(x; y; z) est un point du plan médiateur si et seulement si AM = BM.
On a
AM2 = x2 + (y−1)2 + (z−2)2
et par ailleurs
BM2 = (x−2)2 + (y+1)2 + z2
Ainsi, en développant et en simplifiant tous les termes au carré, on obtient l'équation cartésienne du plan médiateur:
AM = BM
⇔ AM2 = BM2
⇔ 4x − 4y − 4z = 0
Autre méthode: On peut aussi écrire, à l'instar de la médiatrice d'un segment dans le plan, que le plan médiateur est le plan orthogonal à la droite (AB) et qui coupe le segment [AB] en son milieu I.
De cette fa&ccedl;on, le plan médiateur est l'ensemble des points M tels que le produit scalire
IM.AB = 0