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Colles de mathématiques

Équation polynomiale de degré 4


Sujet


Résoudre dans R, puis dans C, l'équation: x2 + x24 + x38 + x416 = 0

Corrigé de l'exercice de maths: Nombres complexes - Sommes

Correction


Il s'agit de la somme de termes en progression géométrique, de raison $\dfrac{x}{2}$ et donc, pour $x\not=2$ (mais de toute façon, $x=2$ n'est pas solution),
\[\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16} =\dfrac{x}{2}\dfrac{1-\lp\dfrac{x}{2}\rp^4}{1-\dfrac{x}{2}} \]

et donc, dans $\R$, $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^3}{8}+\dfrac{x^4}{16}=0$ si et seulement si $x=0$ ou $\lp\dfrac{x}{2}\rp^4=1\iff x=\pm2$.
$x=2$ n'est pas solution, et donc, dans $\R$, l'équation a deux solutions $x=0$ et $x=-2$.


Dans $\C$, on a la même factorisation, mais par contre $\lp\dfrac{x}{2}\rp^4=1$ pour $\dfrac{x}{2}$ racine quatrième de l'unité, soit $\dfrac{x}{2}=e^{2ik\pi/4}=e^{ik\pi/2}$, pour $k\in\N$, $0\leqslant k\leqslant3$, et donc l'équation admet 4 solutions ($x=2$ n'est toujours pas solution...):
\[\mathcal{S}=\la0;\, 2i,\, -2,\, -2i \ra\]