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Colles de mathématiques

Estimation de pièces défectueuses produites


Sujet


Estimation de pièces défectueuses produites

Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue p est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de p. On effectue un prélèvement de n pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de n tirages indépendants avec remise. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que Xn/n approche p.
  1. Quelle est la loi de Xn ? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout ε > 0, on a: P | Xnn − p|≥ε ≤14nε2
  3. En déduire une condition sur n pour que Xn/n soit une valeur approchée de p à 10−2 près avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.

Corrigé de l'exercice de maths: VA: inégalités & estimation

Correction


  1. $X_n$ est la somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, et donc $X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et $E(X_n)=np$ et $V(S_n)=np(1-p)$.
  2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit
    \[P(|X_n-E(X_n)|\geqslant a)\leqslant\dfrac{V(X_n)}{a^2}\]

    Or,
    \[\left|\frac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon \iff|X_n-np|\geqslant n\varepsilon\iff |X_n-E(X_n)|\geq n\varepsilon\]

    On applique donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a=n\varepsilon$ et on obtient
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\Bigr) \leqslant\dfrac {p(1-p)}{n\varepsilon^2}\]

    De plus, sur $[0,1]$, la fonction $x\mapsto x(1-x)$ admet un maximum égal à $1/4$ en $1/2$, d'où le résultat voulu.
  3. On cherche $n$ tel que
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\leqslant10^{-2}\Bigr)\geqslant0,95\]

    soit encore, en passant à l'événement contraire
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant 10^{-2}\Bigr)\leqslant 0,05\]

    Il suffit donc de choisir $n$ tel que
    \[\dfrac{1}{4n10^{-4}}\leqslant0,05\iff n\geqslant 5\cdot 10^4\]
    .