Colles de mathématiques
Estimation de pièces défectueuses produites
Exercice de maths: VA: inégalités & estimation
Sujet
Estimation de pièces défectueuses produites
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue p est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de p. On effectue un prélèvement de n pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de n tirages indépendants avec remise. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que Xn/n approche p.
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue p est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de p. On effectue un prélèvement de n pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de n tirages indépendants avec remise. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que Xn/n approche p.
- Quelle est la loi de Xn ? Sa moyenne? Sa variance?
- Démontrer que, pour tout ε > 0, on a: P | Xnn − p|≥ε ≤14nε2
- En déduire une condition sur n pour que Xn/n soit une valeur approchée de p à 10−2 près avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.