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Colles de mathématiques

Étude d'une fonction


Sujet


Étudier le sens de variation de la fonction
f : x ↦ x + 1x2 + x + 1

Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Corrigé de l'exercice de math

Correction


Le trinôme x2 + x + 1 a pour discriminant Δ = −3 < 0 et donc ne s'annule jamais sur R, et ainsi f est définie sur R.
On a de plus f = uv et donc f ' = u'v − uv'v2,
soit, pour tout x réel,
\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{1\left( x^2+x+1\rp-(x+1)(2x+1)}{\left( x^2+x+1\rp^2} \\[.8em] &=\dfrac{-x^2-2x}{\left( x^2+x+1\rp^2} =\dfrac{-x(x+2)}{\left( x^2+x+1\rp^2}\enar\]

On obtient alors le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline $-x^2-x$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$& \\\hline $x^2+x+1$ && $+$ & $|$ &$+$&$|$ & $+$ &\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$& \\\hline &0&&&&1&&\\ $f$&&{\Large$\searrow$}&&{\Large$\nearrow$}&&{\Large$\searrow$}&\\ &&&$-\frac13$&&&&0\\\hline \end{tabular}\]

en ajoutant les limites: $\dsp\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2} =\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x}=0$
On a donc l'allure:

\[\begin{pspicture}(-5,-1)(5,2) \psline[arrowsize=7pt]{->}(-5,0)(5,0) \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(0,2) \psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-2,.2){$-2$} \psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$} \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x 1 add x 2 exp x add 1 add div} \end{pspicture}\]