Colles de mathématiques

On considère le polynôme P(z) = z⁴ + 6z² +25

1. Déterminer les racines de P.
2. En déduire que P peut s'écire comme le produit de deux trinômes du second degré à coefficients réels.

On considère le polynôme du quatrième degré P(z) = z⁴ + 6z² +25.
C'est un polynôme bicarré, c'est-à-dire qui ne contient que des carrés, z², et des carrés de carré: z⁴ = (z²)²

1. En suivant l'indication précédente, on pose Z = z², et P(Z) est alors un trinôme du second degré,
   P(Z) = Z² + 6Z +25
   de discriminant Δ = −64 = (8i)², et admet donc deux racines complexes conjuguées Z₁ = z₁² = −3 + 4i et Z₂ = Z₁.
   On extrait alors une racine carrée complexe de Z₁:
   Z₁ = z₁² = (a + ib)² = −3 + 4i
   donc en développant, en identifiant parties réelles et imaginaires, et en ajoutant aussi l'égalité des modules (au carré):
   a² − b² = −3 2ab = 4 a² + b² = 5 ⇔ a² = 1 b² = 4 ab = 2 > 0
   On trouve donc z₁ = 1 + 2i ou z₁' = −1 − 2i.
   De même avec Z₂ = z₂², on touve z₂ = −1 + 2i ou z₂' = 1 − 2i.
2. On en déduit la factorisation du polynôme P:
   P(z) = (z−z₁)(z−z₁')(z−z₂)(z−z₂')
   soit en regroupant et développant les produits par conjugués, on obtient la factorisation dans R:
   P(z) = (z² − 2z + 5) (z² + 2z + 5)