Colles de mathématiques
Fonction et sommes composées avec arctan
Sujet
Montrer que, pour tout x > 0,
arctan
12x2
=
arctan
xx + 1
−
arctan
x − 1x
En déduire une expression de Sn = n ∑ k=1 arctan 12k2 puis limn+∞Sn .
En déduire une expression de Sn = n ∑ k=1 arctan 12k2 puis limn+∞Sn .
Corrigé de l'exercice de maths: Sommes
Correction
On pose, pour
,
et
.
et
sont dérivables sur
,
avec
![\[f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^3}}{1+\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp^2}
=-\dfrac{-4x}{4x^4+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/7.png)
et
![\[\begin{array}{ll}
g'(x)&=\dfrac{\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}}{1+\lp\dfrac{x}{x+1}\rp^2}
-\dfrac{\dfrac{x-(x-1)}{x^2}}{1+\lp\dfrac{x-1}{x}\rp^2}\\[2.8em]
&=\dfrac{1}{(x+1)^2+x^2}-\dfrac{1}{x^2+(x-1)^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-4x}{\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/8.png)
Or,
.
On trouve ainsi que
et donc
que
,
constante réelle.
De plus, par exemple pour
,
et
.
Ainsi,
et
pour tout
.
![\[\begin{array}{ll}
S_n&=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=0}^{n-1}\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\arctan\lp\dfrac{n}{n+1}\rp-\arctan0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/19.png)
Ainsi, pour tout entier non nul
,
,
et comme
,
on a
.
![$x>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/1.png)
![$f(x)=\arctan\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/2.png)
![$g(x)=\arctan\lp\dfrac{x}{x+1}\rp-\arctan\lp\dfrac{x-1}{x}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/4.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/5.png)
![$\R_+^*$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/6.png)
![\[f'(x)=\dfrac{-\dfrac{1}{x^3}}{1+\lp\dfrac{1}{2x^2}\rp^2}
=-\dfrac{-4x}{4x^4+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/7.png)
et
![\[\begin{array}{ll}
g'(x)&=\dfrac{\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}}{1+\lp\dfrac{x}{x+1}\rp^2}
-\dfrac{\dfrac{x-(x-1)}{x^2}}{1+\lp\dfrac{x-1}{x}\rp^2}\\[2.8em]
&=\dfrac{1}{(x+1)^2+x^2}-\dfrac{1}{x^2+(x-1)^2}\\[1.4em]
&=\dfrac{-4x}{\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/8.png)
Or,
![$\lp2x^2+2x+1\rp\lp2x^2-2x+1\rp=
\Bigl(\lp2x^2+1\rp+2x\Bigr)\Bigl(\lp2x^2+1\rp-2x\Bigr)
=\lp2x^2+1\rp^2-\lp2x\rp^2
=4^2+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/9.png)
On trouve ainsi que
![$f'(x)=g'(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/10.png)
![$f(x)=g(x)+k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/11.png)
![$k$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/12.png)
De plus, par exemple pour
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/13.png)
![$f(1)=\arctan\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/14.png)
![$g(1)=\arctan\dfrac12-\arctan0=\arctan\dfrac12=f(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/15.png)
Ainsi,
![$k=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/16.png)
![$f(x)=g(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/17.png)
![$x>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/18.png)
![\[\begin{array}{ll}
S_n&=\dsp\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{1}{2k^2}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k-1}{k}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\sum_{k=1}^n\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\right)
-\sum_{k=0}^{n-1}\arctan\lp\dfrac{k}{k+1}\rp\\[1.8em]
&\dsp=\arctan\lp\dfrac{n}{n+1}\rp-\arctan0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/19.png)
Ainsi, pour tout entier non nul
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/20.png)
![$\displaystyle S_n=\arctan{n}{n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/21.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/22.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac\pi4$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exarctan2_c/23.png)