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Colles de mathématiques

Formule des probabilités composées


Sujet


  1. Énoncer et démontrer la formule des probabilités composées.
  2. Une urne contient initialement 7 boules noires et 3 boules blanches.
    On tire successivement 3 boules : si on tire une noire, on l'enlève, si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire à la place.
    Quelle est la probabilité de tirer 3 blanches à la suite ?

Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance

Correction


  1. Formule des probabilités composées: soit $A_1$, $A_2$, … ,$A_n$ des événements tels que $P\lp\dsp\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i\rp\not=0$, alors
    \[P\lp\bigcap_{i=1}^nA_i\rp=P\lp A_1\rp\times P_{A_1}\lp A_2\rp\times P_{A_1\cap A_2}\lp A_3\rp \tm\dots\tm P_{A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_{n-1}}\left( A_n\rp\]




    Démonstration: On démontre cette propriété par récurrence sur le nombre $n$ d'événements.
    Pour $n=1$, la propriété est tautologique, et pour $n=2$,
    \[P\left( A_1\cap A_2\rp=P\left( A_1\rp\times P_{A_1}\left( A_2\rp\]

    est la définition même de la probabilité conditionnelle.

    Si on suppose maintenant la propriété vraie au rang $n$, alors au rang suivant $n+1$:
    \[\begin{array}{ll}\displaystyle P\lp\bigcap_{i=1}^{n+1} A_i\right) &=\displaystyle P\lp\lp\bigcap_{i=1}^nA_i\rp\cap A_{n+1}\rp\\[1.4em] &=\displaystyle P\lp\bigcap_{i=1}^nA_i\rp\times P_{A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n}\lp A_{n+1}\rp\enar\]

    en utilisant la propriété pour deux événements, et qui nous fournit le résultat en utilisant l'hypothèse de récurrence.

  2. On note $B_i$ l'événement "La i-ème boule tirée est blanche". La probabilité recherchée est $P\left( B_1\cap B_2\cap B_3\rp$, soit avec la formule des probabilités composées:
    \[P\left( B_1\cap B_2\cap B_3\rp=P\left( A_1\rp\times P_{B_1}\left( B_2\rp\times P_{B_1\cap B_2}\left( B_3\rp\]

    On a d'abord $P\left( B_1\rp=\dfrac3{10}$.
    Lorsque $B_1$ est réalisé, l'urne est constituée avant le 2ème tirage 8 boules noires et 2 blanches et donc $P_{B_1}\left( B_2\rp=\dfrac2{10}$.
    Enfin, lorsque $B_1$ et $B_2$ sont réalisés, l'urne contient avant le 3ème tirage 9 boules noires et 1 boule blanche et donc $P_{B_1\cap B_2}\left( B_3\rp=\dfrac1{10}$.

    On trouve donc
    \[P\left( B_1\cap B_2\cap B_3\rp=\dfrac3{10}\tm\dfrac2{10}\tm\dfrac1{10}=\dfrac6{1000}=\dfrac3{500}\]