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Colles de mathématiques

Probabilité d'au moins un événement

Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2017



Exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance - Annales ENSAE - Saclay - B/L

Sujet


Soit $n\in\N^*$ et $A_1$, … $A_n$, $n$ événements indépendants d'un espace probabilisé $\lp\Omega,\mathcal{A},P\rp$ tels que: $\forall k\in\N^*, \, P\left( A_k\rp=\dfrac1{2k}$.
Soit $E_n$ l'événément "Au moins un des $A_i$ est réalisé".
  1. Calculer $P(E_n)$.
  2. Montrer que, $\forall x\in\R$,  $1-x\leqslant e^{-x}$.
    En déduire que: $P(E_n)\geqslant1-\exp\lp-\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1{2k}\rp$.
  3. Calculer $\dsp\lim_{n\to+\infty}P(E_n)$. Interpréter ce résultat.

Correction