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Colles de mathématiques

Formule des probabilités totales


Sujet


Énoncer et démontrer la formule des probabilités totales.

Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance

Correction


Pour trois événements, on peut représenter la situation de la façon suivante:
Illustration de la partition de l'univers

et
\[P(B)=P\left( B\cap A_1\rp+P\left( B\cap A_2\rp+P\left( B\cap A_3\rp\]

Plus généralement, pour $n$ événements $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ qui forment une partition de l'univers (ou un système complet), c'est-à-dire deux à deux disjoints et dont la réunion est l'univers, on a, pour tout événement $B$,

P(B)=P(B\cap A_1)+P( B\cap A_2)+\dots+P(B\cap A_n)=\sum_{i=1}^n P(B\cap A_i)

et donc, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle:
P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B)




La démonstration est immédiate car
\[B=\left( B\cap A_1\right) \cup \left( B\cap A_2\right) \cup \dots \cup \left( B\cap A_n\right)\]

et que les événements (B\cap A_i) sont deux à deux disjoints.