Colles de mathématiques
Formule des probabilités totales
Sujet
Énoncer et démontrer la formule des probabilités totales.
Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance
Correction
Pour trois événements, on peut représenter la situation de la façon suivante:
![Illustration de la partition de l'univers](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/1.png)
et
![\[P(B)=P\left( B\cap A_1\rp+P\left( B\cap A_2\rp+P\left( B\cap A_3\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/2.png)
Plus généralement, pour
événements
,
, …,
qui forment une partition de l'univers (ou un système complet),
c'est-à-dire deux à deux disjoints et dont la réunion est l'univers, on a,
pour tout événement
,
![P(B)=P(B\cap A_1)+P( B\cap A_2)+\dots+P(B\cap A_n)=\sum_{i=1}^n P(B\cap A_i)](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/8.png)
et donc, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle:
![P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B)](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/9.png)
La démonstration est immédiate car
![\[B=\left( B\cap A_1\right) \cup \left( B\cap A_2\right) \cup \dots \cup \left( B\cap A_n\right)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/10.png)
et que les événements
sont deux à deux disjoints.
![Illustration de la partition de l'univers](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/1.png)
et
![\[P(B)=P\left( B\cap A_1\rp+P\left( B\cap A_2\rp+P\left( B\cap A_3\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/2.png)
Plus généralement, pour
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/3.png)
![$A_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/4.png)
![$A_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/5.png)
![$A_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/6.png)
![$B$](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/7.png)
![P(B)=P(B\cap A_1)+P( B\cap A_2)+\dots+P(B\cap A_n)=\sum_{i=1}^n P(B\cap A_i)](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/8.png)
et donc, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle:
![P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\times P_{A_i}(B)](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/9.png)
La démonstration est immédiate car
![\[B=\left( B\cap A_1\right) \cup \left( B\cap A_2\right) \cup \dots \cup \left( B\cap A_n\right)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/10.png)
et que les événements
![(B\cap A_i)](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/excours2_c/11.png)