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Colles de mathématiques

Choix aléatoire de pâtes dans un restaurant italien

Oral ENS Ulm, filière B/L, 2019



Exercice de maths: Annales ENS Ulm - B/L

Sujet


Une personne se rend chaque semaine dans un restaurant italien pour déguster des pâtes, et choisit entre trois recettes classiques: Arrabiata (notée A), Bolognaise (notée B) et Carbonara (notée C). La première semaine, elle choisit les pâtes bolognaise. Après avoir dégusté des pâtes bolognaise, la semaine suivante la personne choisit les pâtes bolognaise avec probabilité 2/3 et les pâtes carbonara avec probabilité 1/3. Après avoir dégusté les pâtes carbonara, la semaine suivante la personne choisit les pâtes carbonara avec probabilité 1/3 et les pâtes à l'arrabiata avec probabilité 2/3. Enfin, après avoir dégusté les pâtes à l'arrabiata, la personne choisit ces mâme pâtes la semaine suivante. On note $M_n$ la variable aléatoire à valeurs dans $\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} A, B, C\ra$ qui donne le menu choisi la semaine $n$.
  1. Donner la valeur de $P(M_{n+1} = I | M_n = J)$ pour tous $I, J \in \left\{}\newcommand{\ra}{\right\} A, B, C\ra$.

    Dans la suite de l'exercice, on note $p_n^A = P(M_n = A)$, $p_n^B= P(M_n = B)$ et $p_n^C= P(M_n = C)$.
  2. Exprimer $p_{n+1}^A$, $p_{n+1}^B$ et $p_{n+1}^C$ en fonction de $p_n^A$, $p_n^B$ et $p_n^C$.
  3. Exprimer $p_n^B$ en fonction de $n$.
  4. Soit $X_n=\lp\begin{array}{c}p_n^A\\p_n^B\\p_n^c\enar\rp\in M_{3,1}(\R)$. Montrer que $X_{n+1}=\dfrac13QX_n$ avec $Q=\lp\begin{array}{ccc}3&0&2\\0&2&0\\0&1&1\enar\rp$.
  5. Calculer les valeurs propres de la matrice $Q$.
  6. Montrer que
    \[X_n=P\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 0&\lp\dfrac23\rp^{n-1}&0\\ 0&0&\lp\dfrac13\rp^{n-1} \enar\right) P^{-1}X_1\]

    pour une matrice $P$ que l'on précisera.
  7. Calculer la limite de $P(M_n = A)$ lorsque n tend vers l'infini.

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