Colles de mathématiques
Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable
Exercice de maths: Intégrales généralisées
Sujet
Soit 0≤a≤b.
- Justifier la convergence de ∫ 0 +∞ e−at − e−bttdt.
- Soit 0≤x≤y. Démontrer que ∫ x y e−at − e−bttdt = ∫ ax bx e−ttdt − ∫ ay by e−ttdt
- Démontrer que, pour tout réel z≥0,
e−bz lnba≤
∫
az
bz
e−ttdt ≤e−az lnba
En déduire que ∫ 0 +∞ e−at − e−bttdt = lnba.