Colles de mathématiques
Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable
Sujet
Soit f une fonction continue bornée sur [0; +∞[.
- Démontrer que les intégrales ∫ 0 +∞ f (x)1 + x2dx et ∫ 0 +∞ f (1/x)1 + x2dx sont convergentes.
- Démontrer qu'elles sont égales.
- Pour n≥0 calculer ∫ 0 +∞ dx(1 + x2)(1 + xn) et ∫ 0 +∞ xn(1 + x2)(1 + xn)dx .
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées
Correction
-
est bornée, ce qui signifie qu'il existe
tel que
pour tout
.
La fonctionest de plus continue sur
, et elle vérifie donc
qui est intégrable au voisinage de. L'intégrale
est ainsi convergente. De même,
est continue sur
(mais pas forcément en 0 cette fois).
Le problème ense traite exactement comme précédemment, tandis qu'en 0, le quotient reste bornée même s'il n'est pas continu:
et l'intégrale converge donc aussi en 0. - Avec le changement de variables
, on trouve
- On applique le résultat des questions précédentes avec
, qui est bien continue et bornée sur
. On trouve
En effectuant la somme de ces deux intégrales, on trouve:
On en déduit que ces deux intégrales sont à.