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Colles de mathématiques

Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable


Sujet


Soit f une fonction continue bornée sur [0; +∞[.
  1. Démontrer que les intégrales ∫ 0 +∞ f (x)/1 + x2dx et ∫ 0 +∞ f (1/x)/1 + x2dx sont convergentes.
  2. Démontrer qu'elles sont égales.
  3. Pour n≥0 calculer ∫ 0 +∞ dx/(1 + x2)(1 + xn) et ∫ 0 +∞ xn/(1 + x2)(1 + xn)dx .

Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales généralisées

Correction


  1. f est bornée, ce qui signifie qu'il existe M\geqslant0 tel que |f(t)|\leq M pour tout t\in\R_+.
    La fonction x\mapsto \frac{f(x)}{1+x^2} est de plus continue sur [0,+\infty[, et elle vérifie donc
    \left|\dfrac{f(x)}{1+x^2}\right|\leq\dfrac{M}{1+x^2}

    qui est intégrable au voisinage de +\infty. L'intégrale \dsp\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx est ainsi convergente. De même, x\mapsto \dfrac{f(1/x)}{1+x^2} est continue sur ]0,+\infty[ (mais pas forcément en 0 cette fois).
    Le problème en +\infty se traite exactement comme précédemment, tandis qu'en 0, le quotient reste bornée même s'il n'est pas continu:
    \left|\frac{f(1/x)}{1+x^2}\right|\leq M

    et l'intégrale converge donc aussi en 0.
  2. Avec le changement de variables u=1/x, on trouve
    \int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx=-\int_0^{+\infty}\frac{f(1/u)}{1+\frac{1}{u^2}}\frac{-1}{u^2}du=\int_0^{+\infty}\frac{f(1/x)}{1+x^2}dx

  3. On applique le résultat des questions précédentes avec f(x)=\dfrac1{1+x^n}, qui est bien continue et bornée sur [0,+\infty[. On trouve
    I=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^n)}=\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx

    En effectuant la somme de ces deux intégrales, on trouve:
    2I=\int_0^{+\infty}\dfrac{1+x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2

    On en déduit que ces deux intégrales sont à \dfrac\pi4.